2021年全国甲卷理科数学卷面分析

关于甲卷数学微博上搜了一下甲卷地区考生对此次理科数学的评价,评论有点两极分化,六成认为与去年的全国三卷持平或略难,有人说题目看上去挺简单,实际做起来不是很顺手。

横向比较,甲卷难度甚至高于乙卷,但从历年纵向比较,难度变化相差不大,但阅读量和计算量确实相较于往年有所增加,考试题型设置上大都以常见的备考题型为主,选填难度不大,但个别题目有较大的计算量,大题中引入了新高考中常见的自由搭配条件和结论的数列题,统计考查独立性检验,这种题目要求快且准的计算速度,解析几何和全国乙卷类似,考查切线,但难度高于乙卷,导数大题很是奇怪,题目完全可以用小题的思维解出答案,若要用大题思想去解,更要求解题步骤上的逻辑完整性,如果把这套试卷中任意一个题目单独抽出来,每个题目都不会很难,但将这些看似简单的题目组合在一起在规定时间内解答,难度确实比想象的高。

前五个题目没有难度,第二题这种与实际相结合的问题在全国3中还是很常见的,之前以饼状图的形式出现过,结合具体实际来分析题目中所给的数据。

在等比数列中公比和首项绝大多数为正数,否则数列就成正负相间的摆动数列了,等比数列或等比数列前n项和所成的数列单调性更多取决于q与1的大小,在本题中q0不能推导出{Sn}单增,但若{Sn}单增,则必须保证q0,因此是必要不充分条件。

第8题其实就是一道解三角形大题,放在这里计算量偏大,并不太合适,上图红框中的部分没必要将45°正弦值直接写出,可把sin75°拆分析sin(45°+30°)后两侧同时约去sin45°。

第9题若直接考虑将等式两侧全部转化为tanα会发现有一个对于的cosα,不如直接切化弦,第10题很不错,解题时千万不要将总的事件个数看成6个数字的全排列,数字没有差别,求总的事件个数时可分情况考虑,不考虑数字1,此时剩余的2个0可能相邻也可能不相邻,用插空法即可。

选择压轴11,12难度不大,11题虽考查球内接三棱锥,但条件很特别,根据勾股定理求出锥体高即可,很容易,第12题考查函数的周期性和对称性,从f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数能得出两个结论,第一是周期为4,第二是函数关于(1,0)点对称和轴x=2对称,根据周期和对称将定义域外的函数值转化到定义域内即可,不要忽略一个条件:若函数没有上下平移,则在对称点处的函数值为零。

填空压轴15,16中15题很简单,满足要求的四边形为矩形,求面积两条焦半径的乘积即可,第16题是看图求值题和三角函数不等式的结合题,计算稍大,但难度一般,总的来看,选填相交于乙卷,没有非常难的压轴题,均为常见常考题型,选填做起来应该还比较顺手,只是个别题目的计算量过大。

第18题最简单的选择方法是根据条件1,3推导条件2,若选择条件2,3推条件1就有点麻烦了,可先把条件2中的等差数列设出来,根据递推形式求出当n≥2时的an表达式,看符不符合一次函数表达式,再根据条件3判断a1是不是符合n≥2时的表达式即可,这种题目在新高考中很常见。

第20题依旧考查切线,题目还是和年初时的八省联考选择题很像,这三条直线有斜率不存在的情况,需要专门注明,若斜率均存在,分别写出三条直线的表达式后(写出一个即可,另外两条可同理直接写出)用A1A2,A1A3与圆相切时d=r的条件来验证直线是不是也符合d=r即可,本题的解题逻辑分成以下三部分,验证直线,根据另外两条直线满足的二次方程,求出对应的和与积带入,关于双切线的题目已经很多年没有出现过了,难度倒是不很大,但如果之前没做过此类的问题,解题时会感觉十分的生涩。

第二问可直接判断出a1,但0a1不满足的条件是直接通过图像得到的,在大题步骤上会有缺失,这个题目可能还是借鉴了八省联考的第8个选择题,链接为八省联考三题解析加试卷解读,可以自己看一下,等式两侧取对数后得到lnx/x=lna/a,这里就有点类似一个嵌套函数,根据y=lnx/x先增后减的趋势,令0lna/a1/e即可,但这里不准确,如果y=lna/a不单调时对应的零点个数就不是两个了,再根据y=lna/a的值域范围求出对应a的取值范围,整理来说题目很怪,出在小题一点都不会觉得奇怪,但出在导数压轴大题就感觉很别扭了,虽然并不难解,等待官方的解法。

若选择第23题,解第二问时可根据第一问的图像,将f(x)左右平移满足f(x+a)的图像恒在g(x)的上方,注意x=0.5时两函数值的大小比较。

全国卷相较于新高考,在题目灵活性上可能有所欠缺,但在计算量上依旧有过之无不及,全国卷出题题型还是以常见常规常考的题型为主,还是需要注重基础,注重解题速度和准确性。

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